Contexte Basakata
L'aire d'un champ en fonction de sa largeur inconnue donne une équation du 2nd degré — les deux solutions possibles correspondent aux deux orientations du problème.
Théorie guidée
Une équation du 2nd degré contient un terme en x². Elle peut avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles selon le discriminant. Le terme en x² doit avoir a ≠ 0.
Exemple local
x² − 5x + 6 = 0 : a = 1, b = −5, c = 6. C'est une équation du 2nd degré.
Théorie guidée
Le discriminant détermine le nombre de solutions : Δ > 0 → deux solutions, Δ = 0 → une solution double, Δ < 0 → pas de solution réelle.
Exemple local
x² − 5x + 6 : Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → deux solutions. x² − 4x + 4 : Δ = 16 − 16 = 0 → une solution double.
Théorie guidée
Quand Δ ≥ 0, les solutions sont données par la formule quadratique. Le ± donne les deux solutions possibles.
Exemple local
x² − 5x + 6 = 0 : x₁ = (5 + 1)/2 = 3, x₂ = (5 − 1)/2 = 2.
Théorie guidée
Quand les racines x₁ et x₂ sont connues, on peut écrire ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). C'est la forme factorisée, utile pour résoudre ou simplifier.
Exemple local
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Pour trouver où c'est nul : x = 2 ou x = 3.
Théorie guidée
La formule a² − b² = (a − b)(a + b) est un cas particulier de factorisation très utile. Elle permet de factoriser directement sans passer par le discriminant.
Exemple local
x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3). L'aire d'un terrain de côté x moins 9 se factorise ainsi.
Faire varier Δ pour voir les 3 cas : deux intersections (Δ>0), tangente (Δ=0), aucune intersection réelle (Δ<0)
Δ = b² − 4ac détermine le nombre de solutions
Deux solutions réelles
x₁ = 2.00 et x₂ = -2.00